LK 3 KKC Kelas Atas Guru Pembelajar

LK 3.1: KUBUS BERCAT

 

Pada LK 3.1 Saudara diharapkan menyelidiki tentang kubus yang permukaan sisinya dicat merah. Berapa banyak kubus satuan yang akan memiliki satu sisi dicat merah, dua sisi dicat merah, dan tiga sisi dicat merah? Diharapkan Saudara dapat menemukan  rumus banyaknya kubus satuan yag dicat dicat pada kubus berukuran n × n × n.

Untuk membantu memecahkan masalah tersebut, maka Saudara memerlukan kubus dengan ukuran: 2 × 2 × 2, 3 × 3 × 3, 4 × 4 × 4.

 

 

Isikan hasilnya pada tabel di bawah ini.

Panjang rusuk kubus	Banyak kubus satuan	Banyak kubus satuan yang dicat permukaannya
		3 sisi	2 sisi	1 sisi	0 sisi
2	8	8	0	0	0
3	27	8	12	6	1
4	64	8	24	24	8

Banyak sisi yang dicat	Kubus berukuran
	1 × 1 × 1	2 × 2 × 2	3 × 3 × 3	4 × 4 × 4	n × n × n
0	0	0	1	8	(n-2)3
1	0	0	6	24	6(n-2)2
2	0	0	12	24	12(n-2)
3	0	8	8	8	8
4	0	0	0	0	0
5	0	0	0	0	0
6	1	0	0	0	0

Untuk kubus n x n x n yang dicat permukaannya, dengan syarat n ≥ 2 berlaku persamaan sebagai berikut:

Banyak 0 sisi yang dicat = (n-2)³

Banyak 1 sisi yang dicat = Jumlah sisi kubus x (n-2)²= 6 (n-2)²

Banyak 2 sisi yang dicat = Jumlah rusuk kubus x (n-2) = 12 (n-2)

Banyak 3 sisi yang dicat = Jumlah titik sudut kubus = 8

Untuk menunjukkan kebenaran rumus pada tabel di atas, maka apabila semua rumus di atas ditambahkan akan sama dengan banyak kubus satuan secara keseluruhan atau n³.

Bukti:

(n-2)³ + 6 (n-2)² + 12 (n-2) + 8 = (n³-6n²+12n-8) + 6 (n²-4n+4) + 12n-24 + 8

                                                            = n³-6n²+12n-8 + 6n²-24n+24 + 12n-24 + 8

                                                            = n³-6n²+6n²+12n+12n-24n+ 24-24-8+8

                                                            = n³+0+0+0+0

                                                            = n³ (terbukti)